一、基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、基本策略

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解，这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解，这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

三、适用的情况

（1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

（2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

（3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

（4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

• 第一特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。

• 第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。

• 第三特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征，如果具备了第一和第二特征，而不具备第三特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

• 第四特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四、基本步骤

• step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

• step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

• step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)
    if |P|≤n0
    then return(ADHOC(P))
     //将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
     for i←1 to k
        do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) //递归解决Pi
        T ← MERGE(y1,y2,...,yk) //合并子问题
     return(T)

其中|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P，因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

五、复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间，再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

• 1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
• 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
• 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

七、可使用分治法求解的一些经典问题

1. 二分搜索
2. 大整数乘法
3. Strassen矩阵乘法
4. 棋盘覆盖
5. 归并排序
6. 快速排序
7. 线性时间选择
8. 最接近点对问题
9. 循环赛日程表
10. 汉诺塔

八、Java使用分治法实现快速排序和归并排序

快速排序和归并排序的实现完全符合分治法的思想，下面是我实现快速排序和归并排序的博文，大家可以参考下，后面我会将快速排序和归并排序的代码贴出来。

Java实现九种排序算法7：交换排序之快速排序
Java实现九种排序算法8：归并排序

1、Java版快速排序例子

public class QuickSort {
     /**
     *     快速排序
     * @param a
     * @return
     */
    public static  int[] quickSort(int[] a) {
        if(a.length>0) {
            quickSort(a,0,a.length-1);
        }
        return a;
    }
    private static void quickSort(int[] a, int low, int high) {
        if(low<high) {
            //选择基准元素
             int middle = getMiddle(a,low,high);
             quickSort(a, 0, middle-1);
             quickSort(a, middle+1, high);
        }
    }
    private static int getMiddle(int[] a, int low, int high) {
        //假设第一个是基准元素
        int temp = a[low];
        while(low<high) {
            //找到比基准元素小的位置
            while(low<high&&a[high]>=temp) {
                high--;
            }
             a[low] = a[high];
             //当队首元素小于等于tmp时,向前挪动low指针
             while(low<high && a[low]<=temp){
                   low++;
             }
             a[high] = a[low];
        }
        a[low] = temp;
        return low;
    }
    /**
            * 测试打印
     * @param a
     */
    private static void print(int[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            System.out.print(a[i]+" ");
        }
         System.out.println();
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1};
        print(a) ;
        a = quickSort(a);
        print(a) ;
    }
}

2、Java版归并排序的例子

public class MergeSort {
     /**
     * 归并排序
     * @param a
     * @param left
     * @param right
     */
    public static int[] mergeSort(int[] a) {
        return mergeSort(a, 0, a.length-1);
    }
    private static int[] mergeSort(int[] a, int left, int right) {
        if(left<right){
            int middle = (left+right)/2;
            //对左边进行递归
            mergeSort(a, left, middle);
            //对右边进行递归
            mergeSort(a, middle+1, right);
            //合并
            merge(a,left,middle,right);
        }
        return a;
    }
    private static void merge(int[] a, int left, int middle, int right) {
        int[] tmpArr = new int[a.length];
        int mid = middle+1; //右边的起始位置
        int tmp = left;
        int third = left;
        while(left<=middle && mid<=right){
            //从两个数组中选取较小的数放入中间数组
            if(a[left]<=a[mid]){
                tmpArr[third++] = a[left++];
            }else{
                tmpArr[third++] = a[mid++];
            }
        }
        //将剩余的部分放入中间数组
        while(left<=middle){
            tmpArr[third++] = a[left++];
        }
        while(mid<=right){
            tmpArr[third++] = a[mid++];
        }
        //将中间数组复制回原数组
        while(tmp<=right){
            a[tmp] = tmpArr[tmp++];
        }
    }
    /**
            * 测试打印
     * @param a
     */
    private static void print(int[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            System.out.print(a[i]+" ");
        }
         System.out.println();
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1};
        print(a) ;
        a = mergeSort(a);
        print(a) ;
    }
}